A discussion on the calculation method of instability probability of landslide due to rainfall
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摘要:
为了解决滑坡风险评价中的滑坡失稳概率计算问题，利用前人在降雨阈值的研究成果，结合气象学中降雨概率分布理论，以云南省盐津县庙坝滑坡为例进行计算，建立降雨型滑坡失稳概率计算模型。结果表明，盐津县降雨型滑坡的降雨阈值类型为累积降雨量-历时关系阈值，即为单日降雨阈值，降雨阈值为29.7 mm；盐津县在当日降雨量达到或超过阈值水平时可能诱发滑坡，对滑坡影响的滞后天数最大为5天；庙坝滑坡在8月20—25日6天内单日降雨达到或超过29.7 mm的降雨概率为46.49%；庙坝滑坡在8月25日因前5天或当天单日降雨量超过29.7 mm而失稳的概率为0.2853%。
Abstract:In order to solve the landslide risk evaluation of landslide failure instability probability calculation problem, this paper summarizes the research achievements of previous researchers in rainfall threshold and, in combination with the previous research results in a threshold rainfall, uses the theory of statistical to perform coupling analysis of the historical record of the rainfall landslide and rainfall data, so as to create a rainfall landslide failure instability probability calculation model, with Miaoba landslide in Yanjin County of Yunnan Province as an example for demonstration.The results show that the rainfall threshold type of Yanjin County rainfall landslide is cumulative rainfall duration threshold, which means the one-day rainfall threshold, with the rainfall threshold being 29.7 mm; most of rainfall landslide in Yanjin County is caused by the daily rainfall which reaches rainfall threshold within 5 days; the possibility that the rain reaches or exceeds 29.7 mm from August 20th to 25th is 46.49%;the possibility of the failure of Miaoba landslide in August 25th is 0.2853%.
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2007年开始，“十一五”科技支撑重点计划“地质灾害风险评价技术研究”，逐步把国外的风险评价理论引入国内[1-2]。地质灾害风险评价理论中核心难点问题之一便是确定致灾体的失稳概率，由于致灾机理与诱发因素的复杂性，使致灾体的失稳概率难以确定。在各种诱发因素中，降雨是导致地质灾害发生的重要诱因[3]，降雨诱发的地质灾害类型主要为滑坡[4]。
降雨诱发滑坡的下限值称为降雨阈值，有关降雨型滑坡降雨阈值的研究主要集中于2个方向：一是基于统计学原理，统计分析滑坡与降雨的记录资料，建立经验性的降雨阈值；二是从滑坡失稳破坏机理入手，通过模拟滑坡破坏过程得到物理意义的降雨阈值。国内外许多学者从这两方面对降雨型滑坡开展了研究，取得的成果集中于求取降雨阈值和验证降雨对滑坡的影响[5-19]。这些成果在滑坡预警预报中得到了有效运用[20-22]，然而这些成果的运用还停留在危险性评价的理念中，并没有将降雨阈值与降雨本身的发生规律结合起来更进一步的探讨，落后于现有的地质灾害风险管理理念。
在气象与水文预报工作中，已有较成熟的降雨概率分布理论被广泛应用[23]。本文利用前人在降雨型滑坡研究工作中的成果，将降雨阈值理论与降雨概率分布理论结合，建立降雨型滑坡失稳概率计算模型。从云南省盐津县和昭通市气象局分别收集了2004—2014年的滑坡记录资料与1961—2014年的汛期降雨资料，以云南省昭通市盐津县庙坝滑坡为例进行计算，为滑坡风险评价工作提供单体滑坡失稳概率的计算方法。
1. 降雨型滑坡失稳概率计算模型
1.1 降雨型滑坡失稳概率计算模型
降雨型滑坡由降雨事件与因降雨而发生的滑坡事件组成，并且滑坡事件在降雨条件下发生，因此降雨型滑坡发生概率的求解基于条件概率的理论[21-22]。降雨型滑坡失稳概率计算公式如下：
P(C)=P(A)×P(B) (1) 其中，事件C为降雨型滑坡事件，事件A为因降雨量超过降雨阈值而导致的滑坡事件，事件B为超过某降雨阈值x0的降雨事件。
假设某一地区面积为a，某滑坡的面积为a0，已知该地区N年发生了n次降雨型滑坡，则
P(A)=nN×a0a (2) 1.2 降雨概率分布理论与降雨阈值
降雨是一种极其复杂的大气运动，但是多年同时期的降雨量复合连续随机分布。在水文统计学与应用气象学中，已有较成熟的理论用于拟合降雨概率分布曲线，常用的有皮尔逊Ⅲ型曲线、指数分布曲线和耿贝尔分布曲线(表 1)[23]。
表 1 三种常用降雨概率分布函数及统计参数Table 1. Three commonly used rainfall probability distribution function and statistical parameter概率曲线及统计参数 公式 参数 P-Ⅲ型 P(X≥x)=βαΓ(α)+∞∫x(x−a0)α−1e−β(x−a0)dx a0=E(x)(1−2CVCS) α=4C2S β=2E(x)CVCS 指数分布 P(X≥x)=+∞∫xf(x)dx=+∞∫xαe−α(x−β)dx=e−α(x−β) \alpha = \frac{1}{b} = \frac{1}{{E(x)}}, {\rm{ \mathit{ β} = (}}{{\rm{X}}_{\rm{i}}}{{\rm{)}}_{\min }} 耿贝尔分布 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - a(x - b)}}]}} a = \frac{{1.2825}}{\sigma }, b = E(x) - 0.45005\sigma 统计参数 E(x) = x = \frac{1}{n}, \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}, {K_i} = \frac{{{x_i}}}{x}} {C_v} = \sqrt {\frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({K_i} - 1)}^2}} } , {C_S} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{({K_i} - 1)}^3}} }}{{\left( {n - 3} \right)C_v^3}}, \sigma = \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} - x)}^2}} }}{{n - 1}}} 在拟合出合适的降雨概率分布曲线后，还需确定降雨阈值。降雨阈值类型由于降雨类型、降雨滑坡所处地质条件等差异而不同[24]。Guzzetti等[25-29]通过分析大量独立的降雨诱发滑坡事件，分别得到4种不同的阈值类型：①降雨强度-历时关系阈值; ②累积降雨量-历时关系阈值; ③累积降雨量-降雨强度关系阈值; ④基于降雨诱发滑坡的总降雨量阈值。据前人[5-18]在降雨阈值方面的研究成果，降雨型滑坡某一日的降雨量达到或超过阈值时，在当日或数日内诱发滑坡发生的可能性大大增加。因此，模型中采用累积降雨量-历时关系阈值，限于降雨资料的精度，取24 h累计降雨阈值，即单日降雨量阈值。
如果有某区域降雨与滑坡的历史记录资料，首先统计每一起降雨型滑坡失稳前j天的单日降雨量，并选取单日降雨量最小值作为降雨阈值，再通过适线法拟合出降雨概率分布曲线，两者结合起来能够计算出该区域降雨阈值的超过概率。假设该地区降雨阈值为S0，降雨概率遵从G(s)分布，则
P(s \ge {S_0}) = \int\limits_{{S_0}}^{ + \infty } {G(s)ds} (3) 若计算所有可能影响某一日降雨型滑坡失稳的降雨发生概率，则
P(B) = \sum\limits_{i = 1}^{i = j} {P{{(s \ge {S_0})}_i}} (4) 式中j为超过阈值的降雨量对滑坡有影响的滞后天数。
2. 降雨型滑坡失稳概率模型实例应用
2.1 云南省盐津县庙坝滑坡概况
盐津地区自然地理和地质环境条件复杂，气候条件时空差异大，是地质灾害多发地区之一。2014年在盐津地区地质灾害详查共发现地质灾害隐患点283个，其中滑坡217个，滑坡主要为牵引式滑坡，多发生在渗透率高的松散坡积斜坡上，滑体主要为坡积物，尤其在毁林开荒后的坡面上，发生时间集中在汛期[30]。
庙坝滑坡位于盐津县庙坝镇民政村，地理坐标为北纬27°56′11.2″、东径104°19′43.3″。滑坡体平面呈不规则状，前缘较宽，后缘狭窄，剖面呈平直型，滑坡后缘高程为1200 m，滑坡前缘高程为500 m，整体坡高为700 m，滑坡体长约2750 m，前缘宽约1970 m，滑体平均厚约20 m，主滑方向为31°, 整体坡度约23°(图 1)。滑坡出露地层为三叠纪永宁镇组(T1y)与三叠纪飞仙关组(T1f)，永宁镇组为灰岩、砂岩与含泥质灰岩，产状为55°∠22°，飞仙关组为砂岩、泥岩夹鲕粒灰岩，产状为20°∠21°，为顺向斜坡(图 2)。坡体前缘在2007年因降雨发生过垮塌，根据裂缝位移监测警报，及时转移人员未造成伤亡。
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图 2 庙坝滑坡剖面示意图T1y—三叠纪永宁镇组；T1f—三叠纪飞仙关组Figure 2. The schematic diagram of Miaoba landslide2.2 降雨阈值与滑坡失稳概率分析
笔者从盐津县国土资源局收集到2004—2014年的地质灾害资料，剔除非降雨因素引起的滑坡事件，统计得到63起降雨型滑坡，其中17起为连续多日低强度降雨诱发，其余47起由单日降雨量过大诱发。通过统计分析，这47起降雨型滑坡发生前10天的降雨数据发现，滑坡发生当天降雨达到或超过大雨级别的占比76.60%，因此诱发的滑坡有36起，占比76.60%；滑坡发生前倒数第1天降雨达到或超过大雨级别的占比55.32%，因此诱发的滑坡有4起，占比8.51%；滑坡发生前倒数第2天降雨达到或超过大雨级别的占比46.81%，因此诱发的滑坡有2起，占比4.26%；滑坡发生前倒数第3天降雨达到或超过大雨级别的占比31.91%，因此诱发的滑坡有2起，占比4.26%；滑坡发生前倒数第4天降雨达到或超过大雨级别的占比25.53%，因此诱发的滑坡有2起，占比4.26%；滑坡发生前倒数第5天降雨达到或超过大雨级别的占比6.38%，因此诱发的滑坡有1起，占比2.13%(图 3)。诱发这47起降雨型滑坡的降雨事件在滑坡发生当日及发生前5天以内发生，并且降雨型滑坡发生当日及前5天以内的最小单日降雨量为29.7 mm，故降雨阈值为29.7 mm/d，超过阈值的降雨量对滑坡有影响的滞后天数取为5(图 4)。庙坝滑坡面积为2.90 km2，盐津县总面积为2019.35 km2。故根据公式(2)：
P(A) = \frac{{47}}{{11}} \times \frac{{2.90}}{{2019.35}} \times 100\% = 0.6136\% ![]()
图 4 降雨型滑坡破坏前单日降雨量最小值及发生次数Figure 4. The minimum of daily rainfall and the occurrences before landslide damage其物理含义是，在单日降雨量达到或超过阈值的条件下，庙坝滑坡的破坏概率为0.6136%，也可以理解为庙坝滑坡在降雨条件下的破坏频次为0.006136次。
在当地滑坡历史记录资料上，2007年8月25日曾因降雨发生大规模的滑坡灾害，因此本文以计算8月25日庙坝滑坡失稳概率为例，需分析8月20—25日这6天的降雨概率分布曲线。利用适线法[23]拟合分析1960—2014年盐津县每年8月20日—8月25日的降雨资料，得到3种概率模型拟合的参数值与标准误差(表 2)。根据拟合结果，选取标准误差较小的概率曲线作为其降雨概率分布曲线，将阈值代入降雨概率分布曲线的理论公式求解降雨量超过阈值的概率(表 3)。
表 2 8月20—25日降雨概率分布曲线拟合参数结果Table 2. Fitting parameter results of rainfall probability distribution curve from August 20th to 25th分布类型及参数 8月20日 8月21日 8月22日 8月23日 8月24日 8月25日 皮尔逊Ⅲ型分布 E(x) 6.3 3.6 9.4 8.6 7.8 7.6 Cv 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 Cs 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 s 12.6 8.9 15.8 17.9 19.4 10.8 指数分布 a 0 0 0 0 0 0 b 6.4 3.6 9.5 8.5 7.9 7.7 s 10.8 7.8 7.8 15.2 9.9 8.3 耿贝尔分布 a 0.08366 0.12396 0.06349 0.05908 0.07936 0.0885 b -0.4682 -1.04356 0.44242 -1.00348 0.65429 1.1432 s 9.9 7.1 11 13.3 8.4 6.9 统计参数 E(Si) 6.3 3.6 9.6 8.6 7.8 7.6 D(Si) 235.0 107.0 408.0 471.2 261.2 210.2 Max(Si) 97.2 60.7 103.8 103.9 84.0 52.4 Min(Si) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 表 3 8月20—25日降雨概率分布曲线及超过阈值概率Table 3. The probability distribution curve of rainfall and the threshold exceeding the probability from August 20th to 25th日期 超过概率分布公式 P(X≥x=29.7) 8月20日 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - 0.08366(x + 0.46820)}}]}} 0.07702 8月21日 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - 0.12396(x + 1.04356)}}]}} 0.02188 8月22日 P(X \ge x) = 1 - {e^{ - 0.10526x}} 0.04388 8月23日 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - 0.05908(x + 1.00348)}}]}} 0.15041 8月24日 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - 0.07936(x + 0.65429)}}]}} 0.09494 8月25日 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - 0.08850(x + 1014320)}}]}} 0.07677 根据公式(4)，8月20—25日降雨达到或超过单日降雨阈值29.7 mm的概率为：
P(B) = \sum\limits_{i = 1}^6 {{P_i} \times 100\% = 46.49\% } 则8月25日庙坝滑坡失稳概率为：
P(C) = P(A) \times P(B) \times 100\% = 0.006136 \times 0.4649 \times 100\% = 0.2853\% P(C)的物理意义是庙坝滑坡在8月25日因单日降雨量超过阈值而失稳的概率为0.2853%。
3. 结论
(1) 建立了降雨型滑坡失稳概率计算模型，即P(C)=P(A)×P(B)，其中，事件C为降雨型滑坡事件，事件A为因降雨量超过降雨阈值而导致的滑坡事件，事件B为超过某降雨阈值的降雨事件，模型中降雨阈值类型为累积降雨量-历时关系阈值，单日降雨量作为降雨阈值。
(2) 盐津县在当天单日降雨量达到或超过29.7 mm时极有可能诱发滑坡，对滑坡影响的滞后天数最大为5天。
(3) 盐津县8月20—25日这6天内单日降雨量达到或超过29.7 mm的发生概率为46.49%。
(4) 庙坝滑坡在8月25日因前5天或当天单日降雨量达到或超过29.7 mm而失稳的概率为0.2853%。
致谢: 感谢云南省昭通气象局提供气象数据，感谢盐津县提供地质灾害记录。审稿专家提出的建议和意见使得本文得以完善。 -
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图 2 庙坝滑坡剖面示意图
T1y—三叠纪永宁镇组；T1f—三叠纪飞仙关组
Figure 2. The schematic diagram of Miaoba landslide
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图 4 降雨型滑坡破坏前单日降雨量最小值及发生次数
Figure 4. The minimum of daily rainfall and the occurrences before landslide damage
表 1 三种常用降雨概率分布函数及统计参数
Table 1 Three commonly used rainfall probability distribution function and statistical parameter
概率曲线及统计参数 公式 参数 P-Ⅲ型 P(X \ge x) = \frac{{{\beta ^\alpha }}}{{\Gamma (\alpha )}}\int\limits_x^{ + \infty } {{{(x - {a_0})}^{\alpha - 1}}{e^{ - \beta (x - {a_0})}}} dx {a_0} = E\left( x \right)\left( {1 - \frac{{2{C_V}}}{{{C_S}}}} \right) \alpha = \frac{4}{{C_S^2}} \beta = \frac{2}{{E(x){C_V}{C_S}}} 指数分布 P\left( {X \ge x} \right) = \int\limits_x^{ + \infty } {f(x)dx = } \int\limits_x^{ + \infty } {\alpha {e^{ - \alpha (x - \beta )}}dx} = {e^{ - \alpha (x - \beta )}} \alpha = \frac{1}{b} = \frac{1}{{E(x)}}, {\rm{ \mathit{ β} = (}}{{\rm{X}}_{\rm{i}}}{{\rm{)}}_{\min }} 耿贝尔分布 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - a(x - b)}}]}} a = \frac{{1.2825}}{\sigma }, b = E(x) - 0.45005\sigma 统计参数 E(x) = x = \frac{1}{n}, \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}, {K_i} = \frac{{{x_i}}}{x}} {C_v} = \sqrt {\frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({K_i} - 1)}^2}} } , {C_S} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{({K_i} - 1)}^3}} }}{{\left( {n - 3} \right)C_v^3}}, \sigma = \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{({x_i} - x)}^2}} }}{{n - 1}}} 
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表 2 8月20—25日降雨概率分布曲线拟合参数结果
Table 2 Fitting parameter results of rainfall probability distribution curve from August 20th to 25th
分布类型及参数 8月20日 8月21日 8月22日 8月23日 8月24日 8月25日 皮尔逊Ⅲ型分布 E(x) 6.3 3.6 9.4 8.6 7.8 7.6 Cv 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 Cs 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 s 12.6 8.9 15.8 17.9 19.4 10.8 指数分布 a 0 0 0 0 0 0 b 6.4 3.6 9.5 8.5 7.9 7.7 s 10.8 7.8 7.8 15.2 9.9 8.3 耿贝尔分布 a 0.08366 0.12396 0.06349 0.05908 0.07936 0.0885 b -0.4682 -1.04356 0.44242 -1.00348 0.65429 1.1432 s 9.9 7.1 11 13.3 8.4 6.9 统计参数 E(Si) 6.3 3.6 9.6 8.6 7.8 7.6 D(Si) 235.0 107.0 408.0 471.2 261.2 210.2 Max(Si) 97.2 60.7 103.8 103.9 84.0 52.4 Min(Si) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
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表 3 8月20—25日降雨概率分布曲线及超过阈值概率
Table 3 The probability distribution curve of rainfall and the threshold exceeding the probability from August 20th to 25th
日期 超过概率分布公式 P(X≥x=29.7) 8月20日 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - 0.08366(x + 0.46820)}}]}} 0.07702 8月21日 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - 0.12396(x + 1.04356)}}]}} 0.02188 8月22日 P(X \ge x) = 1 - {e^{ - 0.10526x}} 0.04388 8月23日 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - 0.05908(x + 1.00348)}}]}} 0.15041 8月24日 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - 0.07936(x + 0.65429)}}]}} 0.09494 8月25日 P(X \ge x) = 1 - {e^{[ - {e^{ - 0.08850(x + 1014320)}}]}} 0.07677
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