中国西北黄土高原地区，地质构造复杂，发育有大量褶皱、断裂，再加上极端降雨天气的影响，使该区近年来频发黄土滑坡地质灾害。如，1654年天水8.0级地震诱发滑坡^[1]；1718年通渭地震，在约3500 km²范围内，滑坡面积达665 km²，震区内滑坡规模巨大，占地震区面积的90%，死伤30000余人^[2]；2013年7月25日，甘肃省天水市麦积区、秦州区等县区遭遇大范围罕有暴雨天气，致使天水市7个县(区)等多处地区发生滑坡、崩塌、泥石流等群发性地质灾害，导致24人死亡及1人失踪，造成直接经济损失达82.75亿元^[3]。

基于滑坡造成的损失和人们对土地资源的需求，加强滑坡潜在风险的研究成为亟待解决的难题。近年来，鲜有研究者探讨各种因素对甘肃省天水地区滑坡运动距离及其预测的有效性。而滑坡滑动距离(滑距)直接决定了滑坡冲击、堆积范围的大小，是估算滑坡受灾面积、评估滑坡潜在风险的重要参数，也是滑坡防灾减灾工作中需要重点关注的指标^[4]。滑坡滑动距离不仅受滑坡体积和落差的影响，还与滑坡运动的地质环境作用等有关。如何有效确定滑坡滑动距离，一直是滑坡研究领域的热点课题。

本次以甘肃省天水市为研究区，采用统计分析方法探讨不同类型滑坡的滑动距离主要影响因素，利用易获取的滑坡影响因子，构建滑坡滑动距离预测模型。同时，基于舒德格尔公式对滑坡滑动距离估测方程进行优化，通过构建适用于本区域的滑动距离预测模型，为研究区常见滑坡运动距离的预测、防灾、减灾提供参考依据，力求提高估测精度，以期为黄土区域滑坡滑动距离预测提供一种新思路。

1 现有滑动距离预测方法与应用

关于滑坡因子对滑坡滑动距离的影响，国内外研究者进行了广泛、深入的研究，提出了多种滑坡滑动距离的预测模型和方法，大致分为4类。

(1) 经验统计预测模型。主要通过一定数量滑坡的滑动距离与其几何特征及诱发因素等关系的统计与分析，获得滑动距离与其影响因素之间相关关系的统计公式。如Budetta等^[5]发现，滑坡的水平滑动距离与滑坡体体积有较好的正相关关系；李秀珍等^[6]对汶川46个典型地震滑坡进行了统计分析，并采用二元线性回归建立了滑距预测公式；Guo等^[7]指出，岩石类型、滑动源体积和坡体过渡角是影响滑坡移动距离的主要因素，得到滑坡移动距离预测的经验模型。

(2) 物理机制预测模型。主要是依据质点的动力学原理，将滑坡运动模式和机理与能量或动量守恒定律等相结合提出的一系列物理模型。如Heim^[8]提出的雪橇模型，Scheidegger^[9]提出的摩擦模型等；张克亮^[10]采用流体连续滑动模型，以反演计算的滑动摩擦角作为视摩擦角，预测了滑坡再次发生时的滑动距离；孙即超等^[11]提出了膨胀土膨胀力模型；吴忠腾^[12]基于运动学原理推导出滑坡滑动距离预测公式；Sassa等^[13]利用环剪试验测得视摩擦角，采用流体介质平衡方程和连续介质方程，推导出滑坡运动的微分方程，运用有限差分法，实现了滑动范围的预测。

(3) 数值模拟预测模型。采用离散元等数值方法对滑坡运动的整个过程进行模拟，从而预测滑坡的滑动距离。如江晓禹等^[14]及Hungr^[15]采用数值相似方法预测了滑坡的运动距离；Yoichi等^[16]证明了滑坡体体积越大，滑坡体颗粒由于碰撞作用导致的能量传递就越多，运行距离就越远，合理解释了高速远程滑坡碎屑流的“尺寸效应”。

(4) 模糊信息理论模型。模糊信息化处理模式针对地震滑坡取样的局限性及数据的不完整性进行优化处理，可以用来分析信息的模糊性，以便更好的帮助决策。刘悦等^[17]根据模糊信息有关理论提出黄土滑坡滑距预测的模糊信息优化处理模型；王鼐等^[18]提出基于模糊信息优化处理的地震滑坡滑距预测方法。

目前基于力学、运动学、滑坡物理机制等对滑距预测展开了研究，取得了较好的成果。对于诱发因素相同，地质背景相近的滑坡，建立与其特征参数相关的滑动距离统计预测模型是切实可行的，但由于现有模型对参数需求较高，而实际中可获取参数较少，在某种程度上限制了模型的应用。黄土区域降雨型滑坡和地震滑坡诱因不同，当下对其因素的考虑不够全面，其预测模型也有差异，应具体分析。

统计模型和信息模型预测不侧重于滑坡机理的严格数学表达，重点在于对现有滑坡与其地质环境因素和外界作用因素关系的宏观调查与统计，获得统计规律和信息量，由于其着眼的相对范围较单体滑坡大得多，故被广泛应用于城市或重要国土开发区的滑坡空间预测^[19]。采用经验统计方法不需要严格的运动力学流变学参数或细节，该方法是一个可以实现滑动距离估测相对简单的工具，故本文采用统计学方法研究因子与滑动距离之间的非线性关系，以便更好的辅助决策。

2 研究区概况与数据来源 2.1 研究区概况

天水市位于陇西黄土高原东南部，渭河及其支流藉河河谷地带，区域范围为东经104°35′~106°44′、北纬34°05′~35°10′，呈条带状展布，为典型的河谷盆地型城市，是关中平原城市群重要节点城市。天水市下辖2区5县，总面积1.4325×10⁴ km²，总人口382.9万。天水境内地形复杂，高低悬殊，绝大部分属黄土丘陵区，研究区黄土分布面广，覆盖较厚，加之黄土垂直节理、裂隙发育，受特殊地形地貌、地质构造、岩土性质的控制和影响，地质环境十分脆弱，滑坡频繁发生，严重威胁人民生命财产的安全并制约城市的可持续发展^[20]。天水市是华夏文明的重要发祥地之一，素有“羲皇故里”之称，同时地处丝绸之路经济带的战略位置，对潜在滑坡危害进行有效防控，显得尤为重要^[21]。研究区地形概况及历史滑坡灾害点空间分布位置如图 1所示。

2.2 数据来源

历史滑坡灾害点数据及环境因子数据的收集和预处理是滑坡危险范围估测的首要前提，也是影响评价结果准确度的重要因素之一。本文所用基础数据的类型、分辨率、获取方式等如表 1所示，滑坡参数如表 2所示。

3 滑坡影响因子相关性分析

为了分析各因子对滑坡滑动距离的影响，对天水市192个滑坡体进行了综合分析。本次研究认定相关程度高的因子为主要影响因子，相关程度低的因子为次要因子，相关程度极低的视为无关因子。滑坡要素关系示意图如图 2所示。

研究区自变量包括地学变量和环境变量。根据滑坡滑动距离与各因子的相关性并参考相关文献^[22-29]，提取滑坡前后缘高差、滑坡体积、滑坡长宽比、滑坡平面曲率、植被覆盖度、斜坡坡度等，进行初步因子分析，为进一步确定模型变量奠定基础，分析结果如图 3所示。

(1) 滑坡前后缘高差(ΔH)

滑坡前后缘高差控制了滑坡质心的位置，是滑坡势能大小的体现^[4]。将滑坡高差与滑坡滑动距离进行统计，分析滑坡水平滑距与滑坡前后缘高差的相关性。结果发现，在0.05检验水平上滑坡水平滑距与高差的皮尔逊相关系数为0.62，相关程度较高。表明ΔH是影响天水市黄土地区滑坡滑动能力的主要因素之一。

(2) 滑坡体积(V)

前人已从滑坡体积(V)入手研究其与水平滑动距离相关性^[23]。滑坡体积等因素可以影响滑坡运动的机械能，其值越大，滑坡滑行的总能量越大^[6]。本文将滑坡体积取对数与滑坡滑动距离进行统计，分析滑坡滑距与滑坡体积的相关性。结果发现，在0.05检验水平上滑坡水平滑距与体积对数的相关系数为0.73，相关程度高，说明滑坡体积是影响天水市滑坡滑动能力的影响因素。

(3) 坡体长宽比(γ)

滑坡运动过程中，不同形态的等体积滑坡能量耗散速度不一样。宽展型坡体能量消散快，不利于滑坡长距离运动；而狭长型滑坡则能较长时间保持能量集中，有利于滑动过程中的能量持续供给^[4]。为分析不同平面形态坡体对滑动水平距离的影响，此处引入长宽比(γ)作为滑坡平面形态的表征因素之一。结果显示，滑坡滑距和滑坡长宽比的相关系数为0.62，在0.05检验水平上相关性显著。表明坡体平面形态(长宽比)对滑坡滑动能力具有影响，长宽比更能够明确指示滑移距离的特征，可用此项参数作为模型输入因子。

(4) 滑坡平面曲率(C)

平面曲率描述的是地形在水平方向的特征，在数值上等于某栅格处坡向在坡度上的变化^[24]。由于黄土自身的湿陷性，加之地震等外营力及降雨导致土体本身自重，滑动距离应该依赖于滑坡表面起伏状况。为进一步表征滑坡平面曲率，本次研究尝试引入曲率，分析不同曲率的滑坡对滑动水平距离的影响。曲率小于0为凹坡，(0，1)为凸坡，0为平面。采用双尾显著性检验，结果表明，曲率小于0(凹坡)时，滑坡曲率对滑动距离相关性检验系数为0.13；曲率大于0(凸坡)时，滑坡曲率对滑动距离相关性检验系数为0.27，相关性较低。故认为曲率对滑动距离有一定影响，但不是天水市黄土滑坡水平滑动距离的主要影响因素。

(5) 植被覆盖程度(P)

植被的不同覆盖程度会对滑坡活动产生一系列的影响。目前植被对斜坡稳定性的影响存在诸多争议。一方面，目前被广泛接受的理论为，强降雨作用下植被的根系可以对滑坡土体起到加固作用，提高土体抗剪程度，同时蒸腾作用消耗部分土体水分，减小土体内孔隙水压力，地表植被覆盖可增加地表粗糙度，增大滑坡体滑动摩擦阻力；另一方面，则是越来越多学者注意到在一些情况下，植被反而会促进滑坡的发生^[28]。因此，本次研究拟引入植被覆盖因子，以探究不同类型植被区滑坡的影响情况。通过斯皮尔曼相关系数检验，相关系数为0.19，表明植被覆盖度对滑坡滑动距离有一定影响，但不作为模型输入因子。

(6) 斜坡坡度(α)

为了尽量降低统计结果的离散性，在统计滑坡滑距与斜坡原始坡度相关性时，采用分级统计区间坡度均值的方法，将坡度按5°一个分析区间进行分级，统计每个坡度级别内滑坡水平滑距的平均值和斜坡原始坡度均值。利用SPSS统计分析发现滑坡相关性为0.56。表明斜坡坡度对滑坡滑动距离有一定影响，可作为模型输入因子。

4 基于多元回归的滑动距离预测模型改进优化

根据相关文献^[30]和资料，天水市黄土地区滑坡类型主要为浅层黄土滑坡和浅层黄土-泥岩滑坡2种。考虑到本次实际调查数据以浅层黄土滑坡为主，故暂不作区分。本文首先利用SPSS对滑坡影响因子进行相关性分析，确定构建模型的因子。然后把确定下来的指标因子作为自变量X，滑坡滑动距离作为因变量Y。将数据导入MATLAB做多元回归分析，得到各因子的回归系数，再利用皮尔逊相关系数法对各因子进行相关性检验，通过检验的，确定为回归方程的系数。

4.1 多元回归模型

多元线性回归模型是研究一个因变量和多个自变量间的线性关系的方法，在仅考虑各因素对水平滑动距离线性作用条件下，即可运用多元线性回归模型对各因素对滑坡水平滑动距离的影响程度进行定量描述；在考虑非线性影响条件下，通过变量代换，将非线性项线性化后，仍可运用多元线性回归模型定量描述各因素对滑坡水平滑动距离影响程度，即应用多元回归模型对滑坡水平滑动距离进行定量描述是合适的。

对于具有i个解释变量的多元线性回归模型，其一般形式表述如下^[31]:

$ {y_i} = \alpha + {\beta _1}{x_{1i}} + {\beta _2}{x_{2i}} + \ldots + {\beta _k}{x_{ki}} + {e_i} $

(1)

式中：y_i为因变量；α为截距；β_k为偏回归系数，表示其他变量不变的情况下，第i个变量变化一个单位所引起的因变量变化值；e_i为残差，e_i ~N(0，σ²)。设β的估计值为$ \hat \beta $ (b₀，b₁，…，b_k)，y的估计值为$\hat y$($\hat y$₀，$\hat y$1，…，$\hat y$_k)，根据最小二乘法，得出多元线性回归模型$\hat y$=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…b_kx_k。

4.2 建模因子选取

为使选择的因子更合理，利用皮尔逊相关系数法对各因子间的相关性进行分析，筛选出关联较大的因子用来构建模型。一般情况下，0.8＜r≤1.0为极强相关、0.6＜r≤0.8为强相关、0.4＜r≤0.6为中等程度相关、0.2＜r≤0.4为弱相关、0.0≤r≤0.2为极弱相关或无相关。由前述可知，滑坡前后缘高差(ΔH)、滑坡体积(V)、坡体长宽比(γ)和斜坡坡度(α)与滑坡滑动距离强相关。因此，剔除弱相关因子，保留滑坡前后缘高差(ΔH)、滑坡体积(V)和坡体长宽比(γ)和斜坡坡度(α)4个因子作为最终的评价指标，各因子间相关系数矩阵如表 3所示。由此可见，影响因子之间不存在共线性。

4.3 模型改进优化

本文在舒德格尔公式$ {\rm{lg}}\left( {\frac{H}{L}} \right) = a{\rm{lg}}\left( V \right) + b $的基础上，基于多元回归进行滑动距离预测方程的改进。改进后的公式为

${\rm{lg}}\left( {\frac{H}{L}} \right) = a{\rm{lg}}\left( V \right) + b \times \alpha + c \times \gamma + d $

(2)

式中：H为滑坡滑动高差，单位m；V为滑坡体积，m³；α为斜坡坡度，°；γ为坡体长宽比，即坡体形态；a，b，c，d分别为模型参数。

基于天水市滑坡资料，此次选取134个样本(本文取70%的样本构建模型)用来建模，基于MATLAB和SPSS，分别对降雨诱发滑坡(86个)和地震诱发滑坡(48个)拟合，得到优化方程为式(3)。模型残差见图 4。

降雨诱发$ {\rm{lg}}\left( {\frac{H}{L}} \right) = - 0.128{\rm{lg}}\left( V \right) - 0.006\alpha - 0.016\gamma + 0.286 $

$ 地震诱发 {\rm{lg}}\left( {\frac{H}{L}} \right) = - 0.074{\rm{lg}}\left( V \right) - 0.013\gamma + 0.9 $

(3)

经方差分析及显著性检验可得：降雨诱发滑坡德宾-沃森检验(D-W)=1.330，数据满足独立性，F=8.094> F_0.05(约2.61)；地震诱发滑坡坡德宾-沃森检验(D-W)=2.077，数据满足独立性，F=19.51>F_0.05(约2.61)。除常数项外，P均小于0.05，模型具有统计学意义，说明在0.05检验水平上，线性回归模型有显著意义。

运用SPSS软件进行模型拟合度检验可得：降雨诱发滑坡模型的R²为0.914，调整R²为0.901；地震诱发滑坡模型的R²为0.778，调整R²为0.773，说明预测模型与预测指标之间呈较好正相关关系。又因R²表明了模型对样本数据的拟合程度，其值越高说明模型对样本拟合越好，表明该模型的拟合度较好，较可靠。

图 4-a、c列出了模型标准化残差的标准P-P图，可以看出，滑坡水平滑距预测模型标准化残差对于正态分布的服从较好。图 4-b、d列出了模型预测值与标准化残差散点图，数据点基本全部在3个标准差之内，说明总体效果较好，无异常点，数据基本在0上下对称分布，分布较均匀。故判定该回归方程有效，可用于滑坡滑动距离估侧。

5 模型验证与分析 5.1 滑动距离预测优化模型验证

在以往的研究中，选择验证样本时，难免具有一定的主观性。为了使建立的回归模型具有更好的稳定性，选取研究区内实际已发生滑坡但并未参与建模的58个滑坡信息(约占总个数的30%)作为验证样本，本文利用优化后模型和舒德格尔公式计算的结果，与实际滑动距离进行比较，采用直接结果比对与纳什系数评价2种形式，对模型结果的精度和可信度进行验证(图 5、图 6)。

(1) 优化方程精度检验结果

结果显示，对于降雨诱发滑坡，优化公式计算结果的RMSE为5.126，舒德格尔公式计算结果的RMSE为9.579；对于地震诱发滑坡，优化公式计算结果的RMSE为8.845，舒德格尔公式计算结果的RMSE为12.501。总体上，本文优化后的公式对降雨、地震诱发滑坡滑动距离的估测结果精度均优于舒德格尔公式，同时优化公式对降雨诱发滑坡的验证结果较地震诱发滑坡好，表明该优化公式对降雨诱发滑坡的计算精度更高。

(2) 模型质量评价

本文引入纳什系数NSE(Nash-Sutcliffe efficiency coefficient)评价模型质量，一般用以验证水文模型模拟结果的好坏，也可以用于其他模型^[32]。公式如下：

$ E = 1 - \frac{{\sum\nolimits_{t = 1}^T {{{(Q_0^t - Q_m^t)}^2}} }}{{\sum\nolimits_{t = 1}^T {{{(Q_0^t - {{\bar Q}_0})}^2}} }} $

(4)

式中：Q₀为观测值；Q_m为模拟值；Q^t为第t时刻的某个值；Q₀为观测值的总平均。

E取值为负无穷至1，E接近1，表示模型质量好，模型可信度高；E接近0，表示模拟结果接近观测值的平均值水平，即总体结果可信，但过程模拟误差大；E远远小于0，说明模型不可信。

对天水地区滑坡数据分别用舒德格尔公式和本文优化后的公式2种方法进行计算，得到降雨诱发滑坡舒德格尔公式E值为0.51，优化后公式E值为0.72；地震诱发滑坡舒德格尔公式E值为0.32，优化后公式E值为0.47。表明总体上模型质量较好，但仍有提升的余地，该优化模型对降雨诱发滑坡的模拟结果可信度高于地震诱发滑坡。

5.2 结果分析

本文将天水地区未参与构建模型的58个滑坡数据分别带入该优化方程和舒德格尔公式，将所得滑动距离估测值与实际滑动距离进行比较，并采用纳什效率系数对模型可信度进行检验，结果显示优化公式精度和可信度均优于舒德格尔公式，总体上模型质量较好，该优化公式对降雨诱发的滑坡类型的滑动距离估测结果较地震诱发滑坡好，可能由于地震诱发滑坡受地质内力等不可控因素影响，相比之下降雨诱因较易探索其阈值和可控因子。模型总体上仍有提升的余地。

综合来看，舒德格尔公式中的参数与天水地区滑坡的地质条件、发育规律有较大的偏差，预测精度较低；本文提出的优化模型，对于天水区域滑坡滑动距离具有较强的针对性。因此，采用此多元回归模型对潜在危险滑坡进行滑动距离预测是合理的。

6 讨论

本次研究利用统计分析方法，基于多元回归提出了滑动距离(危害范围)预测优化模型。经过模型检验和实例验证，该模型针对天水地区滑坡具有较高的精度。同时，模型中的参数通过现场调查容易获得，且简单、易行并具有较好的适用性和实用性，可对天水地区潜在危险型滑坡危害范围进行估测。

滑坡灾害是由降水、自然因素、人为因素、人文因素等共同形成的复杂系统，具有显著的非线性特征和不确定性。本次研究暂采用确定性的非线性回归方法，结果检验时可能存在一定偏差。若要验证多元回归模型分别对黄土区域地震、降雨等不同滑坡类型是否更具适用性，还需要在以后的工作中不断扩大样本量，进一步完善。今后的研究中，会考虑更多的影响因子，使用更大数据量的数据，考虑超越概率等不确定性统计方法，得到更精确的评价结果。

7 结论

为定量分析各因子对天水地区滑坡滑动距离的影响，本文根据研究区滑坡数据，综合考虑诱发滑坡灾害的致灾因子与孕灾环境，将可量化的因子，应用多元线性回归模型对滑坡滑动距离影响因素进行了显著性分析，基于舒德格尔公式，得到优化后的滑动距离预测方程。利用历史滑坡数据模型结果进行了验证，并引入纳什系数对模型可信度进行检验，表明优化的舒德格尔公式提高了舒德格尔公式应用于天水地区的准确度与可靠度。通过研究得出的主要结论如下。

(1) 因子相关性分析适用于滑坡滑动距离影响因素显著性分析，天水地区降雨诱发滑坡滑动距离影响因素主要是高差、滑坡体积、滑坡平面曲率和滑坡坡度，地震诱发滑坡滑动距离影响因素主要是高差、滑坡体积和滑坡平面曲率，利用相关性分析进行影响因子的确定，在某种程度上也降低了主观因素对选择权重的影响。

(2) 在舒德格尔公式基础上，基于多元回归就天水地区滑坡建立滑动距离估测优化模型，部分因子通过线性变换，将非线性项线性化后，能够反映各因素对滑坡滑动距离的非线性影响。各因素对滑动距离的影响程度可用偏回归系数定量描述。

(3) 与舒德格式公式相比，对天水区域，此次拟合的优化模型对天水地区更具适用性。可将此方法进一步推广到具有类似滑坡发育特征的较广泛的黄土区域，即可在已有滑坡资料的基础上，预测该区不稳定斜坡体可能发生的滑动距离，预测其致灾范围和损失。

致谢: 本文滑坡数据由中国地质科学院地质力学所提供，审稿专家对本文提出了宝贵的修改意见和建议，在此一并表示感谢。